辰法，则减去辰法后进一辰，如果时余不足被差减，则退一辰，所得为定时余。然后如同推月食加时的方法，子午卯酉为仲辰，辰戌丑未为季辰，寅申巳亥为孟辰。日出前、日入后两个时辰之外，不标注日食。以三乘以气时法，以之除定余，所得为时数。以子时为起算点，算尽时数外即得日食发生的时辰。

求外道日食的方法：

若去交在一个时辰之内，则发生日食。若夏去交在二个时辰之内，而加时在南方三辰的，会有日食。若去冬至或夏至十二时内，并且去交在六时以内，则也发生日食。如果距离春分在三日内，后交在二时内，及距秋分三日内，先交在二时内，也会有日食。先交二时内，值盈二时，以及后交二时内，值缩二时外，也会有日食。各去交三时内的情形，如果有行星隐伏，并且满足上述条件的，也会发生日食。

求内道不发生日食的方法：

加时在南方三辰，而五月朔在交前十三时之外，六月朔在交后十三时之外，则不发生日食。从惊蛰到穀雨之间，朔先交十三时外，值缩加时在午时以西的，不发生日食。处暑到霜降之间，朔后交十三时之外，值盈加时在巳以东的，不发生日食。

求月食食分的方法：

将春后交、秋先交、冬后交，都减去不食余时，如不足被减，则为全食。减剩余的除以三百零二百三十五，商数得到一为不食分。余数大于除数一半的称为半强，小于除数的为半弱，以所得减去十五，所剩余的为食分。

推算日食食分的方法：

在秋分以前的，以距离夏至的日数乘以二，来减去交小余，减剩的是不食余；如果不足被减，则用十八万四千减去交小余，减剩的是不食余。也减望差为定法。其后交值缩，则不减望差，径以望差为定法。在惊蛰之后的，以距离夏至的日数乘以一千五百来减去交小余；在秋分到惊蛰之间，都减去十八万四千，如果不足被减，则如前所减；在大寒到小满之间，去后交五时之外，都

不食余一时。至于时差，值减，则先交减后交加之，不足被减为全食；值加，则先交，后交减之，不足被减时有日食发生。

求日食起亏的方向：在内道则起西北，亏东北；在外道则起西亏东南。如食分在十三分以上，则从左起。是根据食甚时而言，月则行上起。

日入申七刻分刻之三十申七刻四十八分酉一分酉五十二分酉一刻五十五分酉三刻七分酉四刻二十五分酉五刻四十三分酉六刻五十二分酉七刻五十二分戌十七分戌四十四分戌五十分

求日出入所在的方法：以所入节气的辰刻数和分数，与下一气的辰刻数和分数相减，差数乘以入气的日数，乘积除十五，所得商数来损益所入气的辰刻数和分即得所求的定刻及分。

（图片中无文字内容）

十三（下）

开皇二十年，袁充奏上日长影短的议论，高祖因而把有关历法的事宜交付皇太子处理，命令逐步考察和寻求有关日子变长的明显证据。太子召天下精通历算的人士，都集中在东宫。刘焯为太子新立，又修改增加了他的历书，定名为《皇极历》，反驳、改正了张胄玄历法的短处。对此颇为嘉许，还没有进行实测考查验证。官为太学博士，他自负所学既精又博，立志取代张胄玄的太史令而代之，而官职没有称他心意，因此又称病回家。到仁寿四年，刘焯又向皇帝陈述张胄玄历法的错误。

其一说，张胄玄所上朝廷的现行历法，其中日月交食，行星的行度、出现、留等，虽然还不是很完善，也能得到大致的结果，身为五品官职，确实也没有什么好惭愧的了。但靠着别人的成果来写就历法，不是他自己的实际成果，如果对此进行详细讨论，可以发现其中矛盾、错误的地方很多。

其二说，张胄玄历法中的弦望晦朔，与古代记录相违背，并且误差很大，节气和置闰也乖爽天命。时辰不是从子半开始的，晨前另外设置一个后日。推算太阳运动不知其速度有快慢变化，推算月行凭空分为两种，求月亮行度时，遗漏了盈缩之法，推算交食时，杜撰出气差的概念。七曜的运行，不能遵循其各自的行道，月亮的行度，不考虑其出入，应该用黄道而反用赤道，应当近却反而更远，交食无法算准，阴阳没有法度。行

星运动的起点不能协调，五星连珠、日月合璧也不同一，盈缩失去规则，行度没有次序。用太阳去极度来矫正晷漏的方法，应该给出却没有给出，推算食分等方法，极为烦琐。用当今的实测检验不符合，用古代记录考查也不通，历术中的粗疏之处，不可胜记。现在随着讨论的事项纠正其错误之处，共五百三十六条。

其三说，张胄玄在开皇五年，与李文琮一起，在张宾的历法行用之后，本州进行贡举选拔之时，带了所造的历法来应徵。他的这一历法在民间散布、传写甚多，而如今行用的历法，与刘焯以前奏上的历法没有不同。张胄玄以前献上历法时，年近六十，如果不是匆忙仓促间写就，为什么到京没多久，就改变到与刘焯的历法一样了，而与他原先的历法迥然不同。刘焯造历在前，张胄玄献历在后，舍弃自己的历法，而抄袭别人的历法，异同之处暗暗相符。况且刘孝孙的历法因袭刘焯，张胄玄后来归附刘孝孙，历术之文，又都是刘孝孙写的，所以张胄玄的历法原本是偷窃来的，这事实已非常明显。恐怕张胄玄要推委狡辩，所以依据他以前的历法作反驳，一共七十五条，并与前历的文本一起呈上。

其四说，张胄玄为史官，自己前前后后上奏的交食，都与历法所推相违背，现在统计他的错误有十三条。又前与太史令刘晖等比较历法疏密共五十四条，说五十三条是新的。以此判断后出的历法应该比旧的历法精确，现在根据历术推算，比原先的更加不准。如今连同他以前的错误一起列出，共四十四条。

其五说，张胄玄对于历术一道，不算精通。然而刘孝孙起初造历法的时候，都有一定深意，根据天象进行历术推步，事事都必有所出，不是凭空臆断的空话。

其六说，刘焯从开皇三年开始，奉皇上的命令修造历法，一心留意天象的观测与记

录，自以为所造历法已经非常精深微妙，秦、汉以来的历法还没有超过它的。探寻圣人的踪迹，感悟贤哲的用心，测量七曜的运行，得到三光的行度，端正各节气和朔日，合成一部统一的历法，会通古今年代，合于经传中的记载，考验于万物群生，也都信而有徵。张胄玄历法所疏远的，刘焯历法都符合，张胄玄历法所缺少的，刘焯历法中都已拥有，包含始终，可谓完备。

于是就上书自启道：“自从宣教之令停顿，书籍成为灰烬，百姓流离失所，华夏战火纷飞，历算之技失传，算学之道断绝，历法纪年之学废止，已经有千百年了。刘焯以庸鄙之才，妄图承继绝传之学，专精艺业，沉迷数象，自勉要尽力追随群儒之后，希望弄明白圣人的意图。开皇初年，奉皇上之命修造历法，因我本性不喜欢随众附和，故未获皇上赏识，所上历法也不得行用，更令人愤慨的是张胄玄偷窃了我的历法，说成是他自己的历法，但是他未能充分了解历法的精微之处，推算的结果有很多错误，空占着太史令的职位而不能行用正确的历法，实在是玷污了皇家历法之业。请徵召张胄玄来答辩我的问题，比较其历法的优劣长短。”

刘焯还修撰了各历法家历术的异同，叫做《历议》。大业元年，著作郎王劭、诸葛颍二人，在宫中陪侍酒宴的机会，向皇帝说起刘焯善于历术，推步精确严密，论述旁征博引，说理透彻详尽。皇帝说：“早就听说过这个人了。”于是颁下他的上书与张胄玄参照检验。张胄玄反驳说：刘焯的历法有岁率、月率的概念，而建立定朔，月份有连续三个大月、三个小月的情况。岁率、月率就是平朔推算中的章岁、章月。用推算的常数来求定朔，碰到连三小月时，还把十五日减为十四日；在连三大月时，把十五望日改为十六日。推敲这其中的道理算法，并不是求望日的正确方法。所以当初张衡和何承天初创定朔的算法，反驳者根据算数来校验他们的计算，最后都以失败告终，因而不能成功。现在推算定朔，必须去掉其中用于平朔推算的常数。

，然后缓行。”他们互相攻击驳难，无法判决是非对错，结果刘焯又被罢归回家。

大业四年，皇帝驾临汾阳宫，太史官员上奏：“历法预报的日食无效。”皇帝召来刘焯，想推行用他的历法。当时袁充正得皇帝宠信，他与胄玄互相勾结，一起诋毁刘焯的历法，正好又赶上刘焯在这个时候死去，他的历法最后还是没得到施行。历算之士都称刘焯的历法精妙，所以将其历术记录如下。

上元甲子年，距大隋仁寿四年甲子，积一百零八千八百四十年。

岁率：六百七十六。

月率：八千三百六十一。

朔日法：一千二百四十二。

朔实：三万六千六百七十七。

旬周：六十。

朔辰：一百零三点五。

日干元：五十二。

日限：十一。

盈泛：十六。

虧总：十七。

推算经朔的方法：

用月率乘以上元以来到所求年的积年数，再以岁率，所得商数为积月，不满岁率的余数是衰。以朔实乘以积月，再除以朔日法，所得商是积日，余数为朔余。用旬周去减积日，直到移被旬周减的余数就是日数，以此日数命名日算外即得所求年天正冬至月经朔日以及朔小。

求上下弦、望的方法：在前条所得的经朔日及朔小余上加日数七日、余数四百七十五小，得上弦经日及余数。再依次加同样的日数和余可得到望、下弦和下一个月的朔日。如直接求望日，则在经朔日以及朔小余上加日数十四、余数九百五十点五；直接求下弦日，则在经朔日以及朔小余上加日数二十二日、余数一百八十三大；直接就下一月朔日，则在经朔日以及朔余上加日数二十九日、余数六百五十九。每月

周衰二十大，就是各月的闰衰了。

凡是月建子为天正，建丑为地正，建寅为人正。现在所用虽然以人正为正月，然而统求其起始，则也是始于天正。倘若建立一岁的历谱时从十一月开始，节气、物候在年中所在的位置，月亮、行星在天空所在的宿度等，虽然有一个向前的效应，但是这是一个整体的移动。其中前一个地正为十二月，前一个天正为十一月，和各节气的度都属于去年。每日的开始也从星起，晨前多数都归昨日。如节气在夜半之后，测量日影的时间以下一天为准。各种因余、加余之类，都以余数减法数，减剩的称为全余。若其所因余在全余以上，则先加上一，然后减其全余；而因余小于全余的话，就不必增加全余而相加，即得所求。分度的计算，也同此法。凡是不足一日的为余，累积以成余的称为秒；不足一度的称为分，积以成分的称为篾；其不成一秒的称为麽，不成一篾的称为幺。所有的分、余、秒、篾，都分为四份，其中一份为小，二份为半，三份为大，四份为全，相加满全的则从一分、余、秒或篾。当中分成三份时，一份为少，二份为太。若累加后，秒、篾积满分母之数，则从分、余；分、余积满分母之数，则从一日和一度，日度如有积满法数的情况，就从中减去法数。以干支命名日时，满句周时期也要减去句周；带有分、余、篾的，也都是满各自法数后减去并进一。日度虽然积满，而分秒没有积满的，则不可减去，仍需依照原数。如果做减法时，秒篾不足被减，就减去分余一，在秒篾上加上法数后再减；分余不足被减时，从所从的日度或前日度中减一，加上法数后再减。也就是说，其名称要统一，日度并带有分余的，要相加减时，应当连同全日全度和分余一起相加减。如果要相乘，带有分余的，其分母必须与全度或全日数相乘并加入到分子中，乘完之后再求余数。有时分余相加，它们的分母不同，那么它们的分子各乘以对方的分母，然后相加，它们的分母相乘作为法数，相加所得的和数满法数则进一为全数，这就是通分之法。以法除得分余，看似不成，若例应有秒篾，则

法乘而又法除，得秒篾数。或者已经得此秒篾及正项有分余，看似不成，不复需要秒篾者，须组成该项的分数，其分子须大于分母的半则进为一，不够半数则去之。如果分、余的母不等，需要改变分母使它们相通，用彼分母以此分、余，再除以此分母，得到彼所需的分。

所有属于秒篾的项，也要经过法乘，如果仍满此母，则又需除而得其数。对于厯、幺也同理。对那些除去之后还有除不尽的余数，就做不尽，也叫做不如。对那些不成全、全又不分、余、秒、篾的数，改称不成。凡是用来相的数带有小、半及太需要相加减，并与分、余分母相同的，都以分母三和四来除气、度、日去数，再乘以半及太、大的本率二和三，少、即需要根据所除之数随其分余来加减。秋分后前为盈泛，春分后秋分前为亏总，需要各承收。标注盈泛、亏总的名称，是要指明时间应可改正，如以春分为主，则为“亏日后，盈前”。其余凡是不见注明的，都依照此例。

气日法：四万六千六百四十四。

岁数：一千七百零三万六千四百六十六半。

度准：三百三十八。

约率：九。

气辰：三千八百八十七。

余通：八百九十七。

秒法：四十八。

厯法：五。

推算节气的方法：

闰衰的一半乘以朔实，再将度准与朔余相以上两项乘积相加，除以约率，所得商数再气日法，得到去经朔日，除不尽的余数是气弃掉去经朔日，即得天正月冬至日的恒日定加上夜数的一半，再减去日数一日，积满，之法同前，即得定日数。从甲子起命名日算尽定日数之外，就是定冬至日。其冬至日小于半气辰一千九百四十三半的话，冬至节时刻在夜半之后；如大于半气辰，则加上此再除以气辰，所得商数为时辰数，依此命名

衰，算外，即得节气所在的时辰。十二个时辰外，是子初以后的余数。又以十二乘以辰余，得各有名称：

四为小太，也叫少；五为半少；六为半；

七为半太；八为大少，也叫太；九为太；

十为大太；十一为穷辰少。

其中又有不成法的，半数以上为进，半数以下为退。退到最后称为前一数的强，进到最后称为后一数的弱。开始不成一而有退的，称之为沾。开始成十一，而又有进的，称之为穷辰。名有重复的，则可以在其间加入之，可将辰的名义用大小余，来辨别日数区分时辰，从而来确定日期。其余的也都仿照此例。因为冬至日有减，在此仍旧加上，依次加上日数十五日，余数一百九十二，秒数三十七，即得各节气的日和余数。如果按比例求出各月的閏衰，就可以像求冬至的方法一样，也能求得各月中气恒日和朔数。求次月节气的恒日，如同通过下一气在前一气的算法。

| 衰总 | 陟降率 | 迟速数 ||------|--------|--------|| 先端 | 陟五十 | 速本 || 先二十八 | 陟四十三 | 速五十 || 先五十二 | 陟三十六 | 速九十三 || 先七十二 | 陟三十六 | 速一百二十九 || 先九十二 | 陟四十三 | 速一百六十五 || 先一百一十六 | 陟五十 | 速二百八 || 先一百四十四 | 降五十 | 速二百五十八 || 先一百一十六 | 降四十三 | 速二百八 || 先九十二 | 降三十六 | 速一百六十五 || 先七十二 | 降三十六 | 速一百二十九 || 先五十二 | 降四十三 | 速九十三 || 先二十八 | 降五十 | 速五十 || 后端 | 陟五十 | 速本 || 后二十八 | 陟四十三 | 速五十 || 后五十二 | 陟三十六 | 速九十三 || 后七十二 | 陟三十六 | 速一百二十九 || 后九十二 | 陟四十三 | 速一百六十五 |

後一百一十六　　陟五十　　　　遲二百八後一百四十四　　降五十　　　　遲二百五十八後一百一十六　　降四十二　　　遲二百八後九十二　　　　降三十六　　　遲一百六十五後七十二　　　　降三十六　　　遲一百二十九後五十二　　　　降四十三　　　遲九十三後二十八　　　　降五十　　　　遲五十

推算每日遲速數的方法：參見所求日所在氣的陟降率，與下一氣的陟降率相加後除以二，再乘以日限，除以泛總，得氣末率。又以日限乘以上兩個陟降率的差，除以泛總，得到總差。總差再乘以日限，除以泛總，得到別差。前一氣陟降率小於下一氣的陟降率時，以總差來減末率，得到初率，然後加上別差；前一氣陟降率大於下一氣的陟降率時，就以總差加末率，都是所在氣第一日的陟降數。前一氣陟降率大於下一氣的陟降率時，每日累加別差；前一氣陟降率小於下一氣的陟降率時，每日減別差，得到每日陟降數。根據所推算的定氣來計算，以陟加、降減的辦法來加減其遲速，得到各自的遲速數。如果下一氣的陟降率與前一氣的陟降率相同，就都因襲前一氣的末率，為本氣的初率，再加上總差為本氣末率，然後以別差加初率，得到每日陟降數，通計其秒數，來協調安排。

求月朔弦望應平會日所入遲速：各化定氣大餘為辰數，以朔弦望入氣的辰數減去它，並以日限乘以日數，以日內辰為入限，如果前一氣陟降率大於下一氣的陟降率時，以入限乘以該氣末率；如果前一氣陟降率小於下一氣的陟降率時，以入限乘以該氣初率，所得乘積除以日限，為總數。如果前一氣陟降率大於下一氣的陟降率時，以入限來減泛總，再乘以總差，此乘積除以泛總，所得為入差，與總差相加後，乘以入限，再除以兩倍的日限，然後加上總率；如果前一氣陟降率小於下一氣的陟降率時，入限的平方乘以別差，此乘積除以日限平方的兩倍，然後也加上總率。以上所得兩種和數都是總數。然後以陟加、降減的辦法來計算。

减的方式与该气迟速数相加或相减，所得为定数，再由各经余速加、迟减此数，得到其月平会所入迟速定日及日余。

求每日所入先后的方法：各以余通乘其气的衰和衰总，使之各以气日法为分母，然后将躔视作陟降率，将衰总视作迟速数，然后以与求日迟速相同的方法来求每日所入先后及定数。

求定气：将上一步求得的每日先后数作为气，其所经过的日子，都是按照先加、后减的规则来加减气余，随着日数进行加减运算，通计其数，到满一恒气，即成二至后一气的日数。加前一气，依法判别其日并进行命名。又如算下一气，每加上一气的日数后，再命名日序，各得所求的定气日期和日余。也有先已知其先后数，据先减、后加的方式与恒气相加减，即得下一个定气日和日余。也根据各自的日数，进行日序命名，各得所求。

求土王：距离四立各自所在的四气之外，按所入先后加减，直到满二十二日、余数八千一百五十四、秒数十、厯数二。满以上日数之外，是土始王的日子。

求候日：定气所在的日子就是初候日。以三恒气，各为平候日。其余也各以所入先后数为余，所经历之日都是先加、后减气余，随日计，通计其余，每积满平候日，就加上气日，然后命名其日序，即得次候日。以同样的方法也可算得下一个候日，每次都相加、命名，又可得末候日和下一气的日期。

| 末候 | 夜半漏 | 昏去中星 ||------|--------|----------|| 蕨挺出 | 二十七刻分四十三 | 八十二度转分四十七 || 水泉动 | 二十七刻二十六 | 六十三度十六 || 雉始雊 | 十十六刻七十六 | 八十五度六 || 螯虫始振 | 二十五刻九十八半 | 八十七度四十九 || 鸿雁来 | 二十四刻九十六半 | 九十一度三十六 |

仓庚鸣　二十三刻七十　九十六度三七半

雷始发声　二十二刻五十　一百度三十七半

蛰虫启户　二十一刻二十　百五度二十一二半

虹始见　二十刻三半　百九度三十九

蝼蝈鸣　十九刻一半　百一十三度二十五

苦菜秀　十八刻二十三　百十六度十九

螳螂生　十七刻六十九　百一十八度十八

鹿角解　十七刻五十七　百一十八度四十

木堇荣　十七刻六十九　百一十八度十八

鹰乃学习　十八刻二十三　百一十六度十九

凉风至　十九刻一半　百一十三度二十五

鹰祭鸟　二十刻三半　百九度三十九

鸿雁来　二十一刻二十　百五度二十一二半

雷始收声　二十二刻五十　百度三十七半

阳气始衰　二十三刻七十　九十六度三七半

雀入水为蛤　二十四刻九十　九十一度三十六六半

水始冰　二十五刻九十　八十七度四十九八半

虹藏不见　二十六刻七十　八十五度六六

曷旦不鸣　二十七刻二十　八十三度十六六

夜半漏刻数的两倍是整夜的漏刻数。以一百夜漏刻数，所得为昼刻数。在昼刻内减去五加入到夜刻中去，也就是说昼刻是看得见太刻数，夜刻是看不见太阳的刻数。刻数的余一百为分母。

求日出、日入辰刻的：以十二除百刻，得到每辰的刻数，作为待用的分母。以看不见太阳的刻数的一半加上半辰，得到日出时辰数；再加上看得见太阳的刻数，得到日入时辰数。日出时辰数和日入时辰数都除以每辰的刻数，依所得商数起子时算起，算尽之外即得所求的日出和日入辰刻，不能被每辰刻数除尽的是刻数和分数。

求辰前余数：以气日法或朔日法乘以夜半刻数，除以一百，即得所求余数。

求每日刻差：每气以十五日为准，以二百二十五为全刻法数。二至之前后为二分，它们互为对隔，都相距六个节气；各自到对应的四立节气都相距三气。至日和前一日为一，以后每日增加十二分之八，即所谓“太”；接着小寒和大雪二气每日增加十二分之四，即所谓“少”；其末气，每日增加十二分之一，即所谓“少之小”，而最后六天则规定不加。二至前后各一气，其增率到初日达到十又十二分之四；其前后第二气的初日，其率稍增为十二又十二分之六，最后到末日为二十又十二分之八，其前后第三气初日为二十一，末日为三十又十二分之四；四立之气初日为三十一，末日为三十五又十二分之八；其前后第二气稍有增加，初日为三十六又十二分之八，末日为四十一又十二分之四；最后第六气初日为四十一又十二分之四，终于四十二。每气根据在二至前后的位置，用等差级数累加其数，再乘以一百八十，所得乘积除以泛总与二百二十五的乘积，所得为刻差。随所算之日加减其夜刻然后除以一百，得到各自夜半入气定刻数。在二分后十五日以外的，累加计算尽所有有增率的日子，副置其数，再乘以一百八十，除以亏总，作为它的导数。以此来减前面所得之数，减剩的就是所求的部分。不满一整日的，随其时辰来命名。

求晨去中星：以周度加一，减去各昏去中星度，减剩的就是晨去中星度数。

求每日度差：按照各气每日增加率累加所得，乘以一百四十三，再除以四百，然后再乘以一百八十，除以泛总，得到度差数。积满转法为一，随日所在各作加减，各得所求。若在二分

各气间，也依照前述准则，与前求刻差时的至加减相反，都根据日数来逆算求得。也可以因与至的前后方向相反，对刻差而言，冬减夏加。对度差而言，冬加夏减。若在二至前，则以气日数减气间，其有不尽的，通过后一气来反之，以不满一日的部分累加后乘以和除以所规的数目，从后一气反过去进行加减，都能得到求之数。这里只是略微陈述其算法大要，其详算法保存在《稽极》中。

转终日：二十七；余，一千二百五十五。

终法：二千二百六十三。

终实：六万二千三百五十六。

终全余：一千零八。

转法：五十二。

篾法：八百九十七。

围限：六百七十六。

推算入转术的方法：

以终实来减上元以来积日，减到不够被减乘以终法，然后再减去终实，减到小于终实除以终法，所得商数为日数，余数为日余，得其年天正经朔夜半入转日及余数。

求下一日夜半入转日及余数：在前条所得结上加一日，每日加满转终之数时就减去此数，求下一日夜半入转日及余数；如果日数得二十时，加上全余，为夜半入初日余。

求弦望夜半所入转日和日余：都根据朔日夜所入转日和日余，加上其经日，各得其夜半所入转日和日余。

求次月朔弦望夜半所入转日和日余：大月加一日，小月加一日，以及余数，即得所求日夜半入转日和日余。

求经辰所入朔弦望：先将经余换算成转余，即为秒，加上前条所得夜半所入日余，即得所入日及余。根据朔辰所入，加上日数七、百六十五、秒一千一百六十又十二分之九，积满日法成余，得到上弦所入。望、下弦、朔的经辰所入以同样的方法求得：望日加日四、余一千七百三十一、秒一千零七十九又

二分之六，下弦加日数二十二、余三百三十秒九百九十八又十二分之三，次朔加日数余二千二百零八、秒九百一十七。也就是从望求次朔望时，各增加日数一，从其全余中减相应余数，望则减去余五百三十一、秒一百六十二又十二分之六，朔则减去余五十四、秒三百十五。

求月平应会日所入：以某月朔、弦、望会日入迟速定数，也都换算成转余，然后由前所述经辰所入余，速加迟减该转余，就得到各平会入日余。

差 加减 胧胸积加六十八 胧初加六十一 胧百二十三加五十三 胧二百三十四加四十二 胧三百三十一加三十一 胧四百八加十八 胧四百六十四加五减秒太八加一减 胧四百九十六减七 胧五百五减二十一 胧四百九十二减三十四 胧四百五十四减四十六 胧三百九十一减五十五 胧三百七减六十二 胧二百七减五十六加十六七减二加 胧九十四

加六十六 胸二十八加五十九 胸百四十八加五十 胸二百五十六加三十九 胸三百四十七加二十九 胸四百一十九加十六 胸四百七十一加三减太 六加三减 胸五百减十 胸五百五 当日自减，减见为五百四。
减二十三 胸四百八十七减三十六 胸四百四十六减四十八 胸三百八十一减五十八 胸二百九十三减六十五 胸百八十八减七十 三十八少终余 三十一大全余 胸七十

推算朔、弦、望定日的方法：各以月平会所入之日为加减限，限与后限相再除以二，所得为通率；又以两限相减，所得限衰。前项大于后项的，以入余来减终法，所乘以限衰，再除以终法，所得与限衰相加，再以二；前项小于后项的，以入余的一半乘以限然后除以终法，所得来减限衰。以上两种结果都与通率相加，乘以入余，除以日法，最后所得为平会加减限数。其限数另外又从转余换算为余，朓减、肭加本入余。限前项大于后项的，减去变余和未减变余的朓，以及加上变余和未

上变余的胸，都来减终法，然后相加除以二，乘以限衰；限前项小于后项的，也是以朓胸数自与入余相加，再除以二，乘以限衰；以上两乘积都除以终法，加上通率，再乘以变余，除日法。所得以朓减、胸加限数，然后加减朓胸而得定朓胸。然后朓减、胸加其平会日所入，在余数加减时，加满终法，则进一日；不够减时，则退一日，即得朔、弦、望之定日及日。若所推得不满晨前余数，则须借减日算，命甲子算起，算外之日即是所求。就借减日算而，无论不减与减，朔日立算都与后月相同。如都没有立算，而遇大月，则算定朔后，应该加所借减算。闰衰限积满闰限，定朔所在月无中，则为闰月，积满闰限的前后，在分前，像在分后、秋分前，如果月中有两个中气的话，都以适当安置朔的位置，不必拘泥于定朔。如果面没有同限的，也根据前限，如前多，则以通为初数，减去半衰之数，如前少，即以前限为率。其变余加减会带来日期的进退。一日的分，随着初、末分的规定如法求之，所得都来与数相加减。凡是分、余、秒、篾之数，如果不来自旧有的数据，叙述中也没有注明分母的，以十为分母。如果加减计算中与分母有关，则不过是作一些通分运算而已，如果参与加减运算数目太微小，则可以不必列入算式内。其中入日的余数是二千零一十一，十四日余数为一千五百五十九，二十一日余数是一千五百零七，二十八日的余数为下月的初数，以上各减去终法为数。其初、末数都相互加减，其大要是各有九，初数则七日八分，十四日七分，二十一日六，二十八日五分；末数则七日一分，十四日二，二十一日三分，二十八日四分。虽然初数稍而末数稍强，余数的等差只有一分，这作为“!”的分数和作为“势”的初末数是一致的，各随各自的转差一起变化。如果恒算所求，七和二十一日得到初衰数，而且末、初相加隐而明显，其数与平行正好相等。也有初、末有数为恒算所无，其十四日、二十八日保存有初、数，而且虚衰也明显，其数应当除去，所有算

一成不变的方法是不可能有的。

求朔、弦、望的时辰：

前条所得的朔弦望定余，如果小于半朔辰五又十二分之九，即为所求时辰，称为“加子”。如果大于半朔辰，则加上此数，再除以朔所得从子时算起，经过十二辰后，又得子。接下来求入辰的强弱，和求入气的方法相同。

求入辰法度：

度法：四万六千六百四十四。

周数：一千七百零三万七千零七十六。

周分：一万二千零一十六。

转：十三。

篾：三百五十五。

周差：六百零九半。

对日数而言叫做余通，对度数而言叫做篾。也在气的计算中称为日法、度法的，随着不同场合叫不同的名称，它的数字本来是相同的。女宿末尾连接虚宿处，叫做周分。将周化为称之为转。早晨、黄昏计算距离太阳的角度在黄道上度量，度数用赤道宿度计算。

危十七　室十六　壁九

毕十六　觜二　参九

张十八　翼十八　轸十七

心五　尾十八　箕十一

前述都是赤道度数，这些度数是恒定不变，横贯在天空中央，仪器根据它们来度量。

推算黄道度数的方法：

根据冬至所在作为赤道度数，以距离冬至每一度为一限。其初数为九十七，每限增加一，得终数一百零七。其中有三度少弱循平率。然后以一百零九为初限，也是每限增加一，得终数一百一十九，就是春分所在。再从一百一十九开始减少一，又得到终数一百零九。其中也有三度弱循平率。然后以一百零七为初限，每限减少一。